Direi che possiamo cominciare ripartendo dall'inizio e chiudere definitivamente
una questione per volta.
La domanda è
Quanto costa in media fare cartina?
E' un esercizio puramente numerico che non considera il contesto strategico ma comunque la risposta è utile e riserverà qualche sorpresa ma prima di arrivarci separiamo le varie fasi e risolviamole una ad una.
Il costo medio netto (
CMN) di carrarmati per turno di una cartina è dato dalla differenza fra il costo medio (
CM) sostenuto per prenderla e il ricavo medio atteso (
RMA), ovvero
CMN = CM - RMA.
E' ovvio che se non si arriva alla terza cartina, si sostengono solo costi, pertanto
CMN = CM: lo sottolineo perchè questo introduce un problema interessante. Infatti è vero che avendo solo una o due cartine in mano, il ricavo immediato è pari a zero ma d'altra parte esiste un ricavo potenziale che in qualche modo dovrà essere stimato. Per es., ho 5 cartine e cambio un tris da 16 carri: facendo la differenza
CMN = CM - 16/5 ottengo il costo medio sostenuto per turno per ottenere quel magnifico tris ma le due cartine che mi avanzano in realtà sono un ricavo ulteriore da stimare IMHO.
Premesso questo, per ora accontentiamoci della
CMN = CM - RMA e andiamo avanti.
La prima fase è determinare il
CM che sarà composto dal numero medio di armate necessarie per
completare un attacco 3vs2 + le 2 armate necessarie per occupare il territorio (e che verranno perse prima del turno successivo), ovvero
CM = CM(3vs2) + 2. Si noti che CM(3vs2) prevede che l'attaccante usi
sempre 3 dadi fino alla conquista del territorio.
L'argomento è già stato trattato e risolto poichè è possibile derivare una formula matematica che consente un calcolo
preciso di CM(3vs2):
[P(1)/(1-Q(1))(1-P(2))] + 2[1/(1-P(2)) - 1]
dove:
P(2) è la prob. di perdere 2 carri in un solo attacco 3vs2
P(1) è la prob. di perdere 1 carro in un solo attacco 3vs2
Q(1) è la prob. di perdere 1 carro in un solo attacco 3vs1
L'unico dubbio rimasto sono appunto le stime di P(2), P(1), mentre
Q(1) = 0.3402778 è già stata confermata.
I calcoli di P(2) e P(1) sono
facili ma laboriosi e c'è un leggero scostamento fra il mio calcolo e quello di Valerio. Comunque sia io ho ottenuto
P(2) = 0.2925669 e
P(1) = 0.3357767 (sono tutti valori approssimati al settimo decimale). Sostituendo i valori ottenuti nella formula si ottiene che
CM(3vs2) = 1.5465781. In sostanza, attaccando sempre con 3 dadi fino alla conquista di un territorio con 2 carri, si perdono in media un carro e mezzo. Il bilancio sarà decisamente peggiore se si considerassero anche possibili attacchi 2vs1 o addirittura 2vs2...ma vogliamo essere ottimisti sulle capacità strategiche medie del nostro giocatore ideale
Per chiudere, il costo medio per turno sostenuto per fare cartina è
CM = CM(3vs2) + 2 = 3.547
P.S. Valerio posterà la dimostrazione matematica della formula di cui sopra completa di schemini