Serg. Magg.
In geometria, un angolo [dal Latino angulus, dal greco ανκύλος (ankýlos), derivazione dalla radice indoeuropea ank "piegare, curvare"] è quella parte di piano compresa fra due semirette aventi l'origine in comune. Le semirette vengono dette lati dell'angolo, e la loro origine vertice dell'angolo.
Angolo e triangolo ABC come suo sottoinsieme.Un angolo è, quindi, un sottoinsieme infinito del piano avente area infinita. Spesso con angolo si indica anche la parte di piano delimitata da due segmenti con un vertice in comune, ma ci preme sottolineare, che in codesto caso si sottintende che l'angolo è quello individuato dalle semirette a cui i segmenti appartengono. Per questo possiamo dire, ad esempio, che un triangolo possiede tre angoli. Tuttavia, vale la pena precisare, che un triangolo ha ovviamente area finita, è una parte del piano chiusa e limitata, infatti, esso non è altro che un sottoinsieme di uno dei tre angoli al vertice.
Si pone il problema di "misurare un angolo", in quanto come visto una misura di superficie non è indicativa. Questo problema verrà discusso nel seguito e risolto tramite il concetto di ampiezza di un angolo.
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1 La misurazione dell'angolo
2 Angoli particolari
2.1 Angoli di completamento
2.2 Angoli opposti al vertice
3 Angoli formati da rette parallele tagliate da una trasversale
4 Somma degli angoli interni
5 Note
6 Voci correlate
La misurazione dell'angolo [modifica]
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Come giungere a determinare l'ampiezza di un angolo ha certamente chiesto maggiori sforzi all'intelletto umano di quanti ne abbia richiesti la misurazione di lunghezze e superfici. Misurare significa esprimere una grandezza "A" in rapporto ad un'altra grandezza data, ad essa omogenea, che funge da unità di misura, e se tale processo sorge abbastanza spontaneo per le grandezze spaziali, per le quali basta ripetere un segmento, o affiancare un quadrato, U per n volte fino all'esaurimento della lunghezza o della superficie (A=n*U), lo stesso diventa meno intuitivo per le grandezze angolari, dove pure la stessa elaborazione mentale di un'unità di misura adatta richiede un maggior grado di astrazione.
Si prendano in considerazione i 4 angoli di ampiezza α della figura, volendoli quantificare con l'area delimitata dai lati (in verde), avremmo nel caso A, prolungando i lati ad infinito, un'area infinita e nei restanti casi B, C e D, considerando solo le superficie entro le linee tratteggiate, 3 aere determinate e quindi misurabili, ma già a occhio visibilmente diverse fra loro, seppur originate dal medesimo angolo. Si presuma inoltre di dividere α esattamente in due angoli uguali, in modo che sia esprimibile in rapporto a quest’ultimi, come α= 2 β; β, per quanto detto sopra, può quindi essere considerato un'unità di misura e, se pure ora ne consideriamo l'area, l'uguaglianza sarà soddisfatta soltanto dai casi C e D, ma non da B, dove i due triangoli hanno aree diverse, pur trattandosi di due angoli β perfettamente sovrapponibili. Ne discende che l'angolo non può essere misurato idoneamente in termini di area.
Si immagini adesso una semiretta che partendo da una posizione verticale giri attorno al proprio estremo fermandosi orizzontalmente; ha compiuto un angolo α e movendosi ha coperto la stessa superficie di prima, sovrapponendo C e D è possibile però notare che, come in un compasso, allontanandosi dal fulcro, ogni punto traccia sul piano un arco vieppiù maggiore, pur mantenendo immutato il rapporto fra quest’ultimo e il raggio. Inoltre, se la semiretta compisse soltanto l'angolo β, gli archi ora prodotti sarebbero invariabilmente sempre la metà dei loro omologhi in α.
Supponendo ora una rotazione completa, ovvero un angolo di massima ampiezza, la semiretta, tornando nella posizione iniziale, copre l'intera superficie del piano tracciando infinite circonferenze; prendendo una a caso di queste e segmentandola in n parti uguali, si possono individuare per ogni arco altrettante porzioni di piano equipollenti, in pratica una generica unità di misura per l'angolo. Dunque soltanto capendo che la misurazione dell'angolo non può essere idoneamente compiuta quantificando un'area, si può comprendere che bisogna astratte il concetto di angolo per non vederlo più solo come una parte di piano data, ma cinematicamente come una porzione di superficie coperta da una semiretta in rotazione sul proprio estremo, per potere misurarlo. Si tratta di processo non semplice, forse perfino controintuitivo, ma non semplice deve anche essere stato per primi uomini capire "cosa" rimanesse immutato in un angolo, nonostante variassero aree e circonferenze al variare del raggio del compasso.
Sebbene non immediata deve comunque trattarsi di una conquista concettuale antica, se ancora oggi il sistema comunemente più utilizzato per la misurazione degli angoli, il sistema sessagesimale, è giunto sino noi dall'antica Babilonia invariato nei secoli.
Sistemi di misurazione dell'angolo
Nel sistema sessagesimale, analogamente al nostro esempio, l'angolo completo o angolo giro è suddiviso in 360 spicchi, equivalenti all'unità di misura convenzionale denominata grado sessagesimale, indicata col simbolo °. Tale nome deriva dal fatto che le sottounità del grado, il minuto e il secondo, sono divise in sessantesimi; perciò, come nell'orologio, ogni grado è diviso in 60 minuti ('), e ogni minuto è diviso in 60 secondi ("), ulteriori suddivisioni di questo seguono invece il comune sistema decimale. Tale stranezza deriva, appunto, dal fatto che nell'antica babilonia era in auge il complesso sistema numerico su base sessagesimale, giunto sino a noi, quale retaggio storico, nell'orologio e sui goniometri.
Un angolo potrebbe quindi essere espresso in una forma tipo:
.
La ragione della divisione in 360 parti dell'angolo giro è riconducibile all'uso astronomico che i babilonesi facevano di questa misura: dato che il sole compie un giro completo sulla volta celeste nell'arco di un anno (a quel tempo stimato di circa 360 giorni), un grado corrisponde pressapoco allo spostamento del sole sull'eclittica in un giorno.
Nel tempo sono poi stati adottati altri sistemi di misurazione nel tentativo di rendere più agevole la misura dell'angolo; alla fine del ‘700, non sfuggì ai tentativi di razionalizzazione neppure il sistema sessagesimale; venne proposto un sistema centesimale, basato appunto sul grado centesimale, quale centesima parte nell'angolo retto, eletto ad angolo fondamentale per sostituire il 90 col più tondo e comodo 100, anche se trovò utilizzo pratico soltanto attorno il 1850 quando Ignazio Porro [1] lo usò per costruire i suoi primi strumenti a divisione centesimale. Con questo sistema l'angolo giro viene diviso in 400 spicchi uguali con sottomultipli a frazioni decimali. Si tratta ancora di una unita di misura convenzionale non motivata da alcuna ragione matematica.
Lo sviluppo dell'analisi infinitesimale aveva però contemporaneamente partorito un'altra unita di misura che per certi aspetti può risultare più "motivata" o naturale, il radiante, basata sull'osservazione che il rapporto tra un arco di circonferenza e il raggio non dipende dal raggio bensì solo dall'angolo compreso; la misura dell'angolo viene quindi identificata con questo rapporto, in tal modo un angolo giro misura 2*pi, cioè il rapporto tra una circonferenza e il suo raggio. Riepilogando, per misurare l'angolo i sistemi di misura più attestati sono:
il sistema centesimale, con unità di misura il grado centesimale
il sistema sessagesimale, con unità di misura il grado sessagesimale
il sistema radiante, con unità di misura il radiante.
in ambito militare si usa anche il millesimo di radiante
Il primo viene più che altro usato in ambito strettamente topografico, mentre gli ultimi sono quelli maggiormente usati, il secondo per consuetudine il terzo per una maggiore semplicità dei calcoli nelle formule matematiche. La relazione che lega il sistema radiante e il sistema sessagesimale e permette il passaggio da uno all'altro è
dove α è la misura dell'angolo espresso in gradi, ed x è la misura espressa in radianti.
Segno dell'angolo
Nella misurazione dell'angolo però non è importante solo determinare l'ampiezza dell'angolo, dal momento che tale procedimento è effettuato ipotizzando un movimento della semiretta è importante anche la direzione di quest’ultimo. Convenzionalmente la retta si muove in senso orario così che:
un movimento orario determina un angolo positivo
un movimento antiorario determina un angolo negativo.
Notare bene che questa convenzione è rovesciata nell'ambito della trigonometria.
Angoli particolari [modifica]
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Per approfondire, vedi le voci angolo acuto, angolo ottuso, angolo retto, angolo piatto e angolo giro.
Un angolo acuto è un angolo di ampiezza inferiore a un angolo retto, ovvero
Un angolo retto è un angolo di ampiezza uguale a un quarto di angolo giro, ovvero
Un angolo ottuso è un angolo di ampiezza compresa fra l'angolo retto e l'angolo piatto, ovvero
Un angolo piatto è un angolo di ampiezza pari a mezzo angolo giro, ovvero
Un angolo giro è un angolo di ampiezza massima
corrisponde a un giro completo della semiretta sul proprio asse.
Nella nomenclatura degli angoli si può anche sentir parlare di angoli concavi o covessi:
si ha un angolo concavo se è maggiore a un angolo piatto,
si ha un angolo convesso se è inferiore di una angolo piatto,
Angoli di completamento [modifica]
Nella nomenclatura degli angoli si è soliti definire anche degli angoli di completamento β per un determinato angolo dato α, rispetto agli angoli fondamentali retto, piatto e giro.
Si dice complementare l'angolo β mancante (ad un altro angolo) per ottenere un angolo retto, la cui ampiezza (dei due angoli sommati)sarà quindi . Da sopra deriva che due angoli complementari devono essere ambi acuti, e che solo un angolo acuto può avere un angolo complementare, congiunto al quale crea un angolo retto.
Si dice supplementare l'angolo mancante (ad un altro angolo) per ottenere un angolo piatto, la cui ampiezza (dei due angoli sommati) sarà quindi . Da sopra deriva che un angolo acuto ha come supplementare sempre un angolo ottuso e viceversa, mentre il supplementare di un retto è uguale a se stesso. Inoltre quando i due angoli supplementari sono anche consecutivi, cioè da formare con la loro continuità un angolo piatto, vengono detti anche angoli adiacenti.
Si dice esplementare l'angolo mancante (ad un altro angolo) per ottenere un angolo giro, la cui ampiezza (dei due angoli sommati) sarà quindi . Da sopra è possibile generalizzare dicendo che un angolo concavo ha come implementare sempre un angolo convesso e viceversa, mentre l'esplementare di una angolo piatto è uguale a se stesso.
Angoli opposti al vertice [modifica]
Due rette intersecantesi dividono il piano in 4 angoli, ciascun dei quali ha in questo modo due angoli adiacenti e un solo angolo non consecutivo, che viene detto angolo opposto al vertice. In altre parole, due angoli sono opposti al vertice se i prolungamenti dei lati di uno risultano essere i lati dell'altro.
Teorema degli angoli opposti al vertice
Due angoli opposti al vertice sono sempre congruenti.
Dimostrazione
Per definizione due angoli adiacenti equivalgono ad un angolo piatto, per cui valgono le seguenti uguaglianze
da cui
cvd.
Sono adiacenti le coppie di angoli:
α e β
β e γ
γ e δ
α e δ
e sono opposte ai vertici le coppie di angoli:
α e γ
β e δ
Angoli formati da rette parallele tagliate da una trasversale [modifica]
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Quando sul piano due rette qualsiasi "r" e "s" vengono tagliate da un trasversale "t", si originano 8 angoli ognuno dei quali è posto in relazione con quelli ad esso non contigui.
Rispetto la trasversale t, così, sono definiti coniugati due angoli (non contigui) disposti sullo stesso semipiano, mentre sono considerati alterni due angoli (non contigui) situati sui due semipiani diversi. Rispetto alle rette r e s, invece sono definiti esterni due angoli (non contigui) avente in comune ai vertici solo uno dei semipiani originati dalla trasversale, mentre sono considerati interni due angoli (non contigui) aventi reciprocamente Sono inoltre definiti corrispondenti due angoli coniugati in comune ai vertici i semipiani originati dalle rette ma non reciprocamente; il che significa che solo uno degli angoli sarà contemporaneamente intersezione dei tre semi piani.
sono corrispondenti le coppie:
sono coniugati interni le coppie:
sono coniugati esterni le coppie:
sono alterni interni le coppie:
sono alterni esterni le coppie:
Nel caso in cui le due rette "r" e "s" siano parallele, si verifica l'interessante fatto che gli angoli corrispondenti e gli angoli alterni (dello stesso tipo) saranno congruenti.
Gli angoli coniugati (anch'essi dello stesso tipo) saranno invece supplementari.
Somma degli angoli interni [modifica]
Nella geometria euclidea la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre di 180 gradi. Più in generale, data una qualunque figura geometrica convessa di n lati, la somma di tutti i suoi angoli interni è uguale a gradi. Quindi, per esempio, la somma totale di tutti gli angoli interni di un quadrilatero è uguale a gradi. Un caso particolare è dato dal quadrato, che ha quattro angoli retti, la cui somma è infatti 360 gradi. Analogamente, la somma di tutti gli angoli interni di un pentagono, regolare o meno, è uguale a 540 gradi.
In altre geometrie, dette Geometrie non euclidee, la somma degli angoli interni di un triangolo può assumere sia valori maggiori che minori di 180 gradi.
Note [modifica]
^ Strumenti navali
Voci correlate [modifica]
Goniometria
Trigonometria
Angoloide
T. Colonnello
Zflatron ha scritto:
