Indovinello matematico

[iwantudead]

Ti assicuro che sbagli. Stai considerando 3 triangoli e 3 circonferenze, ma sono in numero infinito. Non sono 3

Può essere che io erri, ma faccio riferimento al disegno ed ho tagliato quindi in tre parti.

[Giorgio Silvestri]

In effetti il passaggio alla serie non serve.

Il triangolo superiore tende a 0 come area e i trapezi ottenuti ricorsivamente hanno la stessa
percentuale di area con il loro cerchio inscritto, quindi anche le relative somme mantengono sempre
lo stesso rapporto.

Con questa osservazione basta dividere l'area del primo cerchio con quella del primo trapezio.

Si ottiene ovviamente lo stesso risultato: PI * sqrt(3) / 8 = 68.02 %

---

Ponendo d = raggio = sqrt(3)*L/6

Area triangolo grande = 3*L*d/2
Area triangolo piccolo = L/3 * d/2

Area trapezio = 3*L*d/2 - L/3 * d/2 = 4/3 * L*d
Area cerchio = PI * d * d

Rapporto = PI * d * d / (4/3 * L*d) = PI * d / (4/3 * L) = PI * sqrt(3) / 8 = 68.02 %

[vonnegut]

Allegato 114749

...e questo non vi piace?

[vonnegut]

Con questa osservazione basta dividere l'area del primo cerchio con quella del primo trapezio.

Semplice ed efficace

[Giorgio Silvestri]

...e questo non vi piace?

Simpatico anche questo.

L'unico problema sta nel calcolare l'area degli intercapedini "interni".
Ma basta osservare che sono tutti contenuti dentro un
cerchio di raggio 2R, con R raggio del cerchio interno piccolo.

Ovviamente d = diametro = 6R.

A quel punto basta solo fare i conti ... ora non ne ho voglia
Basta solo fare delle differenze di aree e divisioni.

E' tutto noto

Area cerchio grande (noto diamtro)
Area cerchi piccoli (raggio R)
Area totale intercapedini

Fare le differenze ...

[Giorgio Silvestri]

In realtà ci sono altre considerazioni da fare ...

[maskass]

In effetti il passaggio alla serie non serve.

Il triangolo superiore tende a 0 come area e i trapezi ottenuti ricorsivamente hanno la stessa
percentuale di area con il loro cerchio inscritto, quindi anche le relative somme mantengono sempre
lo stesso rapporto.

Con questa osservazione basta dividere l'area del primo cerchio con quella del primo trapezio.

Si ottiene ovviamente lo stesso risultato: PI * sqrt(3) / 8 = 68.02 %

---

Ponendo d = raggio = sqrt(3)*L/6

Area triangolo grande = 3*L*d/2
Area triangolo piccolo = L/3 * d/2

Area trapezio = 3*L*d/2 - L/3 * d/2 = 4/3 * L*d
Area cerchio = PI * d * d

Rapporto = PI * d * d / (4/3 * L*d) = PI * d / (4/3 * L) = PI * sqrt(3) / 8 = 68.02 %

Brillante, complimenti

[maskass]

Può essere che io erri, ma faccio riferimento al disegno ed ho tagliato quindi in tre parti.

Sì perché non sono 3, ma sono infinite. Il disegno è limitato per questioni "grafiche", ma dal testo è evidente che le circonferenze sono in numero infinito (anche se di area che tende a zero).
Giorgio ha tuttavia appena mostrato come si può risolvere senza serie geometrica. Complimenti a lui!

[iwantudead]

Simpatico anche questo.

L'unico problema sta nel calcolare l'area degli intercapedini "interni".
Ma basta osservare che sono tutti contenuti dentro un
cerchio di raggio 2R, con R raggio del cerchio interno piccolo.

Ovviamente d = diametro = 6R.

A quel punto basta solo fare i conti ... ora non ne ho voglia
Basta solo fare delle differenze di aree e divisioni.

E' tutto noto

Area cerchio grande (noto diamtro)
Area cerchi piccoli (raggio R)
Area totale intercapedini

Fare le differenze ...

Mi appoggio al disegno, specifico
esatto per raggio dei cerchi piccoli
gli spazi tra i cerchi sono di due tipi: 6x quelli creati dalla tangenza tra piccoli e cerchio grande e 5x creati dalla tangenza tra i cerchi piccoli
per i secondi, basta sottrarre dall'area del triangolo formato dalla congiunzione dei 3 piccoli l'area dei settori che risultano essere, ognuno, pari a 1/6 dell'area del cerchio.
quindi
area totale cerchio: (pi/4)*d al quadrato
area singolo cerchio piccolo: (pi/36)*d al quadrato
area triangolo (notare che il lato è pari al diametro del cerchio piccolo, quindi d/3): (sqrt(3)/36)*d al quadrato
area settore: (pi/216)*d al quadrato
area buchi tipo 2 (singolo): (sqrt(3)/36)*d al quadrato - 3(pi/216)*d al quadrato
area buchi tipo 2 (globale): ((sqrt(3)/36)*d al quadrato - 3(pi/216)*d al quadrato)*5
area buchi tipo 1 (globale): (pi/4)*d al quadrato - ((sqrt(3)/36)*d al quadrato - 3(pi/216)*d al quadrato)*5
area buchi tipo 1 (singolo ovvero richiesto): ((pi/4)*d al quadrato - ((sqrt(3)/36)*d al quadrato - 3(pi/216)*d al quadrato)*5)/6

[vonnegut]

Simpatico anche questo.

L'unico problema sta nel calcolare l'area degli intercapedini "interni".
Ma basta osservare che sono tutti contenuti dentro un
cerchio di raggio 2R, con R raggio del cerchio interno piccolo.

Ovviamente d = diametro = 6R.

A quel punto basta solo fare i conti ... ora non ne ho voglia
Basta solo fare delle differenze di aree e divisioni.

E' tutto noto

Solo una cosa però...è molto più semplice e diretto se, per determinare le intercapedini interne, si considera il triangolo equilatero in figura (come ha fatto Iwan).