Indovinello matematico

[highlander]

beh, no. Strettamente parlando la circonferenza non c'entra nulla. Taglia in qualsiasi modo il triangolo con una linea orizzontale e nella parte superiore avrai sempre un altro triangolo equilatero più piccolo.

ah già! gli angoli sempre 60° restano! vero!

[iwantudead]

l'altezza del triangolo, essendo equilatero è ((√3)/2)l.
il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo equilatero è l(√3)/6
da qui che l'area della prima circonferenza è (pi greco x l al quadrato)/18
l'altezza del nuovo equilatero equilatero ottenuto sarà h-2r
quindi (l√3)/6
il lato del nuovo triangolo è pertanto l/3
il raggio della nuova circonferenza è l(√3)/18
l'area della nuova circonferenza è (pi greco x l al quadrato)/108

l'altezza dell'ultimo triangolo che ci serve è (l√3)/18
il lato pertanto l/9
il nuovo raggio (l√3)/54v
l'area: (pi greco x l al quadrato)/972

somma delle aree delle varie circonferenze: (64pi greco x l al quadrato)/972
area del triangolo: ((√3)l al quadrato)/4
percentuale: 47.73%


sono solo con il pc e sono in ufficio, spero di non aver sbagliato i conti.

[maskass]

l'altezza dell'ultimo triangolo che ci serve è (l√3)/18

Scusa, puoi definire meglio "ultimo"? Non ho ben capito il ragionamento che hai fatto, ma secondo è sbagliato perché volente o nolente devi passare per una somma di infiniti termini.

[iwantudead]

Il ragionamento che ho adottato è il seguente.
Il primo triangolo è inscritto nel triangolo di lato l.
Il secondo triangolo è inscritto nel triangolo che ha per base la tangente alla circonferenza n.1 parallela alla base di lato l e per altezza la differenza tra l'altezza del triangolo di lato l meno il diametro della prima circonferenza (il centro di una circonferenza inscritta si trova sull'altezza del triangolo e la circonferenza inscritta è tangente ai tre lati).
Il terzo triangolo è inscritto nel triangolo che ha per base la tangente alla circonferenza n.2 parallela alla base del triangolo n.2 e per altezza la differenza tra l'altezza del triangolo n.2 meno il diametro della seconda circonferenza.

[iwantudead]

Le formule che ho adottato quindi sono:
- il teorema di Pitagora per calcolare altezze e basi
- l'area del triangolo
- l'area della circonferenza
- il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo equilatero (r= (lato x radice di 3)/6)

[iwantudead]

Il ragionamento e le formule sono sicuro che siano corrette, i calcoli è possibile non lo siano.
Purtroppo, sono nelle tue stesse condizioni e senza foglio a volte mi perdo...

[vonnegut]

Ci sono diversi modi per procedere ma sono algebricamente analoghi.
Da quello che ho letto, avete tutti compreso la strada da seguire ma dev'esserci qualche errore nei calcoli.
Per quanto mi riguarda io ho proceduto così.
Ho derivato l'altezza del triangolo applicando il teorema di pitagora = L*sqrt(3)/2.
L'area del triangolo ABC è quindi pari a L²*sqrt(3)/4.

Per ricavare il raggio del primo grande cerchio, ho seguito questo ragionamento...

..ho tracciato le bisettrici degli angoli: applicando euclide è facile dimostrare che i sei triangoli sono identici.
Per ricavare il raggio del primo cerchio quindi si può considerare il triangolo ODB la cui area è data da OD*DB/2 ed è pari ad un sesto dell'area totale.
Pertanto di può impostare l'equazione (X*L/2)/2 = (L²*sqrt(3)/4)/6 da cui di deriva che il raggio è pari a L*sqrt(3)/6 ovvero esattamente un terzo dell'altezza!
Questo rapporto 1:3 fra altezza e raggio vale per qualsiasi triangolo equilatero e relativa circonferenza inscritta (L può variare a piacere). E' un rapporto costante che ci permette di dedurre immediatamente i raggi di tutte le circonferenze inscritte in tutti i triangoli equilateri successivi (evidenziati dalle tangenti rosse).
Pertanto, il primo cerchio avrà il raggio pari ad un terzo dell'altezza, il secondo invece avrà un raggio pari ad un terzo al quadrato dell'altezza, il terzo avrà il raggio pari ad un terzo al cubo dell'altezza e così via.
Conoscendo i raggi, si derivano le aree e la sommatoria della aree da una serie geometrica dove X è pari a 1/9, ovvero pi-greco*(L*sqrt(3)/6)²*Sommatoria per k che va da zero ad infinito di 1/9^k.
La serie converge a 1/(1-x) dove x=1/9 pertanto il risultato è che la somma delle infinite aree delle cinconferenze inscritte è pari a pi-greco*3*L²/32.
Mettendo in rapporto quest'area con l'area totale del triangolo si ottiene pi-greco*sqrt(3)/8 = 0,6802 ovvero il 63,02% dell'area totale.

[vonnegut]

Mettendo in rapporto quest'area con l'area totale del triangolo si ottiene pi-greco*sqrt(3)/8 = 0,6802 ovvero il 63,02% dell'area totale.

Ovviamente intendevo scrivere il 68,02%...

[maskass]

Il ragionamento e le formule sono sicuro che siano corrette

Ti assicuro che sbagli. Stai considerando 3 triangoli e 3 circonferenze, ma sono in numero infinito. Non sono 3

[iwantudead]

Ovviamente intendevo scrivere il 68,02%...

Il mio è stato più complesso e macchinoso ed infatti avevo dubbi sull'esattezza dei calcoli, ma ho letto e fatto in fretta, quindi mi scuso per l'inesattezza dei dati.