Quanto costa fare cartina?

[efisio]

Ok, adesso, passiamo al calcolo del Ricavo Medio Atteso (RMA).
Introduciamo l’argomento. Dopo le prime due cartine, si spendono in media 7 carri e non si ha ancora indietro alcun ricavo. Alla terza cartina, una volta su 3 si fa tris: il ricavo è variabile ed oscilla fra le 8 e le 16 armate, ovvero dal tipo di tris chiuso e dal numero territori posseduti nel tris. 2 volte su tre invece il ricavo sarà ancora pari a zero: questo già suggerisce che il ricavo medio atteso dopo tre cartine sarà piuttosto mediocre comparato al costo medio sostenuto.

Come penso di calcolare RMA

RMA sarà ovviamente dipendente dalla probabilità di avere un tris dopo 3, 4 o 5 cartine (in quest’ultimo caso, il tris sarà certo) e dal tipo di tris ottenuto. Inoltre dipenderà dalla probabilità di possedere 0, 1, 2 o 3 stati, la quale varierà a seconda del numero di stati posseduti nel momento in cui si ottiene il tris. Tradotto:

dove c e t sono rispettivamente il numero di carte e il numero di territori posseduti.
Le Pi sono le probabilità di ottenere una data combinazione non ordinata di 3 o più carte.
Gli Ri sono la somma di Ri = R(tris) + R(c,t) dove R(tris) è banalmente il valore del tris (0, 8, 10, 12) e R(c,t) è il ricavo medio atteso dal possedere 0, 1, 2 o 3 carte dei territori avendo in quel momento esattamente c territori. R(c,t) sarà uguale a zero di default in tutti i casi in cui R(tris)=0 (tradotto significa che se un giocatore ha tre carte e possiede tutti i territori ma non ha fatto il tris, allora il rendimento Ri = 0).

E’ quasi più difficile da scrivere che da calcolare
Come prima fase andiamo a calcolare le Pi avendo in mano 3 carte.


La legenda è piuttosto semplice
AAA significa avere tre carte uguali.
ABC significa avere tre carte diverse.
JJx significa avere due Jolly e due carte uguali.
ABJ significa avere un Jolly e due carte diverse.
Aax significa avere due carte uguali e una diversa (ma che non è un Jolly)

Le tre combinazioni in rosso sono quelle che realizzano il tris con tre carte in mano. Non vi scrivo il calcolo delle combinazioni perchè vi offenderei.
L'ultima colonna riporta i nostri Pi. Se per es. non esistessero armate aggiuntive dal possesso dei territori, il RMA atteso sarebbe:

RMA(totale) = 0.082452*8 + 0.207188*10 + 0.041226*12 = 3.23

Ovvero il ricavo medio per turno atteso RMA = 3.23/3 = 1.08
Infine, il costo medio netto per turno CMN = CM - RMA = 3.55 - 1.08 = 2.47.
Praticamente significa che, per arrivare alla terza carta, si buttano nel cesso 2,5 armate a turno.
E' vero che non abbiamo ancora contato gli Ri ma vi posso già anticipare che in questo caso RMA si accrescerebbe a 3.63.
E' strano tutto ciò? Mica tanto se si considera che la probabilità di fare tris alla terza carta è di appena 1/3 (basta sommare i Pi rossi nell'immagine), pertanto, in media non si possono avere grandi aspettative di ritorni alla terza cartina.

Per oggi chiudiamo qua e vi invito a calcolare i Pi per 4 e 5 carte.

A questo punto penso che sia meglio subirla

[dggae]

Sei atteso:
http://forum.egcommunity.it/showthre...68#post1011768

Mi sa che ti devi mettere comodo se ti metti ad aspettare...

[paperinikredstar]

Adesso mi segno i numeri che postate e me li gioco al lotto

Proviamo a chiudere la discussione una volta per tutte.



La tabella che vedete riporta tutti i dati necessari al calcolo e potete verificarli.
Si legge così...

Nella colonna A ci sono il numero di combinazioni possibili di 3 dadi (ovvero 216 combinazioni) in cui i due dadi più alti sono appunto quelli scritti nelle righe. Per es. il 66 potrà presentarsi nelle terne (6,6,6), (6,6,5), (6,6,4), (6,6,3), (6,6,2), (6,6,1). La prima terna può presentarsi in un'unica forma mentre tutte le altre in tre modi diversi (ad es. (6,6,5), (6,5,6) e (5,6,6)). Pertanto ci sono 16 combinazioni. Verificatele pure.

La colonna B riporta il numero di volte in cui l'attacco 3vs2 si conclude con uno 0-2. Per es. se l'attaccante fa 63 allora perderà solo contro il (6,6), (6,5), (5,6), (6,4), (4,6), (6,3), (3,6). Totale 7 casi. Faccio notare l'evidente regolarità nelle sequenze che permette di compilare la tabella anche senza contare (ma verificate pure ).

La colonna C è il prodotto delle colonne A e B e la sua somma totale è 2.275. Questi sono i casi in cui l'attaccante perde 2 armate in un 3vs2.

Il totale dei casi possibili è 6 elevato alla quinta ovvero 7.776. Pertanto:

P(2) = 2.275 / 7.776 = 0.292567

E' intuile che fai lo sborone. Sono cose che ho gia' calcolato 8 o 10 anni fa.

Adesso guardo il rendimento medio dei tris, così' vedo se hai agggiunto qualcosa di nuovo.

[paperinikredstar]

Ok, adesso, passiamo al calcolo del Ricavo Medio Atteso (RMA).
Introduciamo l’argomento. Dopo le prime due cartine, si spendono in media 7 carri e non si ha ancora indietro alcun ricavo. Alla terza cartina, una volta su 3 si fa tris: il ricavo è variabile ed oscilla fra le 8 e le 16 armate, ovvero dal tipo di tris chiuso e dal numero territori posseduti nel tris. 2 volte su tre invece il ricavo sarà ancora pari a zero: questo già suggerisce che il ricavo medio atteso dopo tre cartine sarà piuttosto mediocre comparato al costo medio sostenuto.

Tutto vero, pero' l'ottica e' sbagliata.

Non ha alcuna importanza se dopo 3 carte non ho un tris, e nemmeno se non ce l'ho dopo 4. Le carte verranno comunque utilizzate per giocare dei tris, preferibilmente alla settima carta, perche' statisticamente piu' conveniente.

Inoltre si tende a finire la partita con nessuna carta in mano, o comunque con un numero di carte piuttosto limitato (1 o 2). Tra l' altro spesso le ultime carte non sono nemmeno dovute a cartina, ma alle ultime conquiste strategiche prima della eventuale spaccata. Naturalmente questa e' roba da campioni, ma chi sa valutare bene la sitazione e il tempo non sprechera', nel finale, 1,5 carri circa ogni volta per fare una o due carte che poi non usera'.

Io calcolerei una situazione "ottimale", nella quale chi fa cartina vuole trovarsi, cioe' di cambiare il tris alla settima carta.

C'e' da dire che se ne possono cambiare due di tris , e questo, se fatto sempre e comunque quando si hanno due tris, da' mediamente una perdita di armate.

Comunque il successivo, o i successivi tris, tendenzialmente si cambieranno di nuovo alla settima carta, percio' comunque il calcolo base lo farei su 7 carte e non sul cambio appena si ha in mano un tris.

Cioe' comincerei col calcolare il rendimento massimo, che e' comunque quello a cui tende chi fa cartina. Si fa cartina per economizzare al massimo tempo e carri spesi per fare cartina, quindi e' anche logico che si cerchera' di cambiare i tris nella condizione piu' favorevole.

[paperinikredstar]

Errata corrige.

[omissis]
Inoltre si tende a finire la partita con nessuna carta in mano, o comunque con un numero di carte piuttosto limitato (1 o 2). Tra l' altro spesso le ultime carte non sono nemmeno dovute a cartina, ma alle ultime conquiste strategiche prima della eventuale spaccata. Naturalmente questa e' roba da campioni, ma chi sa valutare bene la situazione e il tempo non sprechera', nel finale, 3,5 carri circa ogni volta per fare una o due carte che poi non usera' (fatto salvo che l'ultima cartina puo' essere conquistata con soltanto 1,5 carri, di media, perche' si puo' occupare il territorio).
[omissis]

[paperinikredstar]

Come penso di calcolare RMA

RMA sarà ovviamente dipendente dalla probabilità di avere un tris dopo 3, 4 o 5 cartine (in quest’ultimo caso, il tris sarà certo) e dal tipo di tris ottenuto. Inoltre dipenderà dalla probabilità di possedere 0, 1, 2 o 3 stati, la quale varierà a seconda del numero di stati posseduti nel momento in cui si ottiene il tris. Tradotto:

dove c e t sono rispettivamente il numero di carte e il numero di territori posseduti.
Le Pi sono le probabilità di ottenere una data combinazione non ordinata di 3 o più carte.
Gli Ri sono la somma di Ri = R(tris) + R(c,t) dove R(tris) è banalmente il valore del tris (0, 8, 10, 12) e R(c,t) è il ricavo medio atteso dal possedere 0, 1, 2 o 3 carte dei territori avendo in quel momento esattamente c territori. R(c,t) sarà uguale a zero di default in tutti i casi in cui R(tris)=0 (tradotto significa che se un giocatore ha tre carte e possiede tutti i territori ma non ha fatto il tris, allora il rendimento Ri = 0).

E’ quasi più difficile da scrivere che da calcolare
Come prima fase andiamo a calcolare le Pi avendo in mano 3 carte.


La legenda è piuttosto semplice
AAA significa avere tre carte uguali.
ABC significa avere tre carte diverse.
JJx significa avere due Jolly e due carte uguali.
ABJ significa avere un Jolly e due carte diverse.
Aax significa avere due carte uguali e una diversa (ma che non è un Jolly)

Le tre combinazioni in rosso sono quelle che realizzano il tris con tre carte in mano. Non vi scrivo il calcolo delle combinazioni perchè vi offenderei.
L'ultima colonna riporta i nostri Pi. Se per es. non esistessero armate aggiuntive dal possesso dei territori, il RMA atteso sarebbe:

RMA(totale) = 0.082452*8 + 0.207188*10 + 0.041226*12 = 3.23

Ovvero il ricavo medio per turno atteso RMA = 3.23/3 = 1.08
Infine, il costo medio netto per turno CMN = CM - RMA = 3.55 - 1.08 = 2.47.
Praticamente significa che, per arrivare alla terza carta, si buttano nel cesso 2,5 armate a turno.
E' vero che non abbiamo ancora contato gli Ri ma vi posso già anticipare che in questo caso RMA si accrescerebbe a 3.63.
E' strano tutto ciò? Mica tanto se si considera che la probabilità di fare tris alla terza carta è di appena 1/3 (basta sommare i Pi rossi nell'immagine), pertanto, in media non si possono avere grandi aspettative di ritorni alla terza cartina.

Per oggi chiudiamo qua e vi invito a calcolare i Pi per 4 e 5 carte.

Prima di eventualmente addentrarmi nel tuo qualificato contributo, attendo il rendimento nella situazione di 7 carte e 9 o 10 territori posseduti (la situazione piu' comune, penso).

[vonnegut]

A questo punto penso che sia meglio subirla

Ma no, Efisio!
Come ho scritto, il Ricavo Medio Atteso dopo le prime tre carte è naturalmente basso poichè è strettamente legato alla prob. totale di ottenere tris. Dopo 3 cartine, la prob. di avere tris è di circa una su tre, mentre dopo 4 cartine la prob. aumenta a ben 4 su 5 (per la precisione l'81,3%). E' un bel salto dal 33% al 81% e ovviamente si riflette sul RMA abbattendo i costi medi a cartina.
Se poi si arriva a 5 cartine, la prob. di avere tris è ovviamente il 100% ma il salto dal 81% al 100% è più modesto e viene compensato dal costo aggiuntivo della cartina in più. Inoltre, se cambi il tris alla quinta carta, te ne rimangono ancora due in mano e quindi il successivo RMA (=3.63) per arrivare a tre carte è sostanzialmente pari al costo CM (=3.547), pertanto stavolta il CMN (Costo medio netto) per arrivare a tre carte è pari praticamente a zero (ovvero, in media, tanto hai speso tanto ricevi).

Questo è solo un resoconto semplificato per comprendere meglio l'ottica generale, infatti l'idea sarebbe quella di arrivare ad una sorta di indicatore sintetico che identifichi il numero di cartine ottimale per minimizzare i costi medi. Questa è una discussione teorica su un argomento ben specifico; nella pratica invece se ti capita un tris da 16 alla terza carta (e capita 3 volte su mille!) ti comporti di conseguenza e tieni conto anche della strategia.

Per ora siamo arrivati a 3 carte e, prima di passare oltre, c'è da completare il discorso sul RMA e infine trarre le prima conclusioni sul costo iniziale della cartina.
Un passo per volta...

[vonnegut]

Riprendiamo dalla formula:

e passiamo al calcolo completo degli Ri.

Gli Ri sono la somma di Ri = R(tris) + R(c,t) dove R(tris) è banalmente il valore del tris (0, 8, 10, 12) e R(c,t) è il ricavo medio atteso dal possedere 2 o 3 carte dei territori avendo in quel momento esattamente t territori. R(c,t) sarà uguale a zero di default in tutti i casi in cui R(tris)=0

Avevamo lasciato in sospeso il calcolo degli R(2,t) e degli R(3,t) le cui formule sono rispettivamente:
(A) R(2,t) = P(2,t)*4 + P(1,t)*2 + P(0,t)*0 = P(2,t)*4 + P(1,t)*2
(B) R(3,t) = P(3,t)*6 + P(2,t)*4 + P(1,t)*2 + P(0,t)*0 = P(3,t)*6 + P(2,t)*4 + P(1,t)*2
Dove P(3,t) = probabilità di possedere, con tre carte in mano, tutti e tre i territori avendo t territori.
Le altre sono analoghe e, per ogni dato t, ci servono solo queste.
(A) rappresenta il rendimento medio atteso dal possedere due carte e t territori.
(B) rappresenta il rendimento medio atteso dal possedere tre carte e t territori.

La formula generale per calcolare P(c,t) è:

dove C(k,t) sono le combinazioni senza ripetizioni di k elementi su t elementi.
Ovviamente, essendo probabilità, la loro somma è pari a uno.


Ecco la tabella che riporta i valori di R(3,t) e R(2,t) per t che varia fra 6 e 12 territori. I P(0,t) sono irrilevanti e non li metto.


Considerando t=9 allora:
(A)R(2,t) = 0.4181*4 + 0.34495*2 = 0.85714
(B)R(3,t) = 0.00732*6 + 0.10348*4 + 0.41394*2 = 1.28571

Ricordando la formula in cima al post e la tabella dei tris con tre carte,

possiamo ora ricalcolare il CMN(3,9) che (come già anticipato nel post precedente) sarà leggermente più alto di quello calcolato considerando solo il rendimento del tris (ovvero, CMN = 2.47).
Con 3 carte in mano, la prob. di avere 3 carte uguali è 0.08245 e il suo Ri è pari a 9.28571 (= 8 carri + R(3,9)).
Con 3 carte in mano, la prob. di avere 3 carte diverse è 0.207188 e il suo Ri è pari a 11.28571 (= 10 carri + R(3,9)).
Con 3 carte in mano, la prob. di avere 2 carte uguali e un Jolly è 0.041226 e il suo Ri è pari a 12.85714 (= 12 carri + R(2,9)).
Quindi, RMAtotale(3,9) = 0.08245*9.28571 + 0.207188*11.28571 + 0.041226*12.85714 = 3.634.
Il Costo Medio a cartina è 3.547 mentre RMA(3,9) = 3.634/3 = 1.212, ergo il Costo Medio Netto per turno è CMN = 2.335, ovvero le prime 3 cartine (avendo 9 territori) costano in media 2 carri e un terzo a giro.
Rispetto al CMN che tiene conto solo del valore del tris, il costo si riduce di appena un 5,5%...ma si riduce ulteriormente se il numero di territori posseduti e superiore a 9.

La prossima volta tiriamo le somme e poi passiamo oltre.

[paperinikredstar]

Mentre attendiamo vonnegut ho fatto un calcolo empirico del valore medio del tris, su 7 carte, pero' semplificato (il valore ottenuto e' piu' alto del valore reale probabilmente).

I risultati sono soltanto indicativi. Ho testato solamente tre milioni di tris per i 9 territori, e un milione di tris per 10 e 11 territori.

Con 9 territori: 11,76

Con 10 territori: 11,92

Con 11 territori: 12,08

[efisio]

Riprendiamo dalla formula:

e passiamo al calcolo completo degli Ri.

Gli Ri sono la somma di Ri = R(tris) + R(c,t) dove R(tris) è banalmente il valore del tris (0, 8, 10, 12) e R(c,t) è il ricavo medio atteso dal possedere 2 o 3 carte dei territori avendo in quel momento esattamente t territori. R(c,t) sarà uguale a zero di default in tutti i casi in cui R(tris)=0

Avevamo lasciato in sospeso il calcolo degli R(2,t) e degli R(3,t) le cui formule sono rispettivamente:
(A) R(2,t) = P(2,t)*4 + P(1,t)*2 + P(0,t)*0 = P(2,t)*4 + P(1,t)*2
(B) R(3,t) = P(3,t)*6 + P(2,t)*4 + P(1,t)*2 + P(0,t)*0 = P(3,t)*6 + P(2,t)*4 + P(1,t)*2
Dove P(3,t) = probabilità di possedere, con tre carte in mano, tutti e tre i territori avendo t territori.
Le altre sono analoghe e, per ogni dato t, ci servono solo queste.
(A) rappresenta il rendimento medio atteso dal possedere due carte e t territori.
(B) rappresenta il rendimento medio atteso dal possedere tre carte e t territori.

La formula generale per calcolare P(c,t) è:

dove C(k,t) sono le combinazioni senza ripetizioni di k elementi su t elementi.
Ovviamente, essendo probabilità, la loro somma è pari a uno.


Ecco la tabella che riporta i valori di R(3,t) e R(2,t) per t che varia fra 6 e 12 territori. I P(0,t) sono irrilevanti e non li metto.


Considerando t=9 allora:
(A)R(2,t) = 0.4181*4 + 0.34495*2 = 0.85714
(B)R(3,t) = 0.00732*6 + 0.10348*4 + 0.41394*2 = 1.28571

Ricordando la formula in cima al post e la tabella dei tris con tre carte,

possiamo ora ricalcolare il CMN(3,9) che (come già anticipato nel post precedente) sarà leggermente più alto di quello calcolato considerando solo il rendimento del tris (ovvero, CMN = 2.47).
Con 3 carte in mano, la prob. di avere 3 carte uguali è 0.08245 e il suo Ri è pari a 9.28571 (= 8 carri + R(3,9)).
Con 3 carte in mano, la prob. di avere 3 carte diverse è 0.207188 e il suo Ri è pari a 11.28571 (= 10 carri + R(3,9)).
Con 3 carte in mano, la prob. di avere 2 carte uguali e un Jolly è 0.041226 e il suo Ri è pari a 12.85714 (= 12 carri + R(2,9)).
Quindi, RMAtotale(3,9) = 0.08245*9.28571 + 0.207188*11.28571 + 0.041226*12.85714 = 3.634.
Il Costo Medio a cartina è 3.547 mentre RMA(3,9) = 3.634/3 = 1.212, ergo il Costo Medio Netto per turno è CMN = 2.335, ovvero le prime 3 cartine (avendo 9 territori) costano in media 2 carri e un terzo a giro.
Rispetto al CMN che tiene conto solo del valore del tris, il costo si riduce di appena un 5,5%...ma si riduce ulteriormente se il numero di territori posseduti e superiore a 9.

La prossima volta tiriamo le somme e poi passiamo oltre.

Poi non date la colpa all'ansia da prestazione quando fate cilecca!